Wstęp do logiki i teorii mnogości – 60 h
Rachunek zdań i kwantyfikatorów. Algebra zbiorów. Relacje. Funkcje. Liczby naturalne, indukcja matematyczna i rekurencja. Równoliczność zbiorów. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Zbiory uporządkowane.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
stosowania rachunku zdań i kwantyfikatorów oraz indukcji matematycznej w prowadzeniu rozumowań, w szczególności w dowodzeniu twierdzeń; wykonywania działań na zbiorach i funkcjach; interpretowania zagadnień znanych z innych dziedzin matematyki w języku teorii zbiorów; rozumienia zagadnień związanych z różnymi rodzajami nieskończoności oraz porządków w zbiorach.
Rachunek różniczkowy i całkowy – 240 h
Liczby rzeczywiste i zespolone. Ciągi i szeregi liczbowe. Funkcje ciągłe i ich własności. Podstawowe funkcje elementarne i ich własności. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej i zespolonej. Twierdzenia o wartości średniej. Badanie przebiegu funkcji. Wzór Taylora – rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe. Funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Badanie ekstremów. Twierdzenie o funkcji odwrotnej i twierdzenie o funkcji uwikłanej. Całka nieoznaczona i oznaczona. Twierdzenie o zamianie zmiennych. Całki wielokrotne, krzywoliniowe i powierzchniowe. Klasyczne wzory całkowe. Elementy analizy fourierowskiej. Pojęcie równania różniczkowego oraz jego rozwiązania, interpretacja geometryczna. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego (informacyjnie). Przykłady równań całkowalnych. Układy równań różniczkowych liniowych. Informacja o klasycznych równaniach cząstkowych fizyki matematycznej. Podstawowe algorytmy numeryczne dla zadań rachunku różniczkowego i całkowego.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
obliczania granic ciągów, funkcji jednej i wielu zmiennych; obliczania sum szeregów; badania zbieżności ciągów i szeregów; obliczania pochodnych i całek funkcji jednej i wielu zmiennych; badania przebiegu funkcji; rozwiązywania podstawowych typów równań różniczkowych i ich układów; dostrzegania, interpretowania i wykorzystywania związków i zależności funkcyjnych wyrażonych za pomocą wzorów, wykresów, diagramów, schematów, tabel; stosowania zdobytej wiedzy, zarówno do rozwiązywania zagadnień teoretycznych jak i zagadnień praktycznych, w innych dziedzinach – w fizyce, chemii, technice, ekonomii – w szczególności do modelowania matematycznego; wykorzystywania metod numerycznych do rozwiązywania wybranych zagadnień rachunku różniczkowego i całkowego.
Algebra liniowa, algebra abstrakcyjna oraz geometria i elementy topologii – 210 h
Przestrzenie liniowe, baza, wymiar. Przekształcenia liniowe, macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych. Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego. Pojęcie przestrzeni afinicznej. Formy kwadratowe. Podstawowe algorytmy numeryczne zagadnień algebry liniowej. Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy, grupy ilorazowe. Grupy przekształceń, grupy permutacji. Struktura skończenie generowanych grup abelowych. Pierścienie i ich homomorfizmy, ideały, pierścienie ilorazowe – związki z teorią liczb. Pierścienie wielomianów. Ciała ułamków. Rozszerzenia ciał. Informacja o ciałach algebraicznie domkniętych. Przestrzenie euklidesowe, przekształcenia ortogonalne. Grupy izometrii i grupy podobieństw. Krzywe algebraiczne i powierzchnie drugiego stopnia. Geometria różniczkowa krzywych (krzywizna i torsja). Przestrzenie metryczne. Pojęcia metryczne (izometrie, zupełność) i topologiczne (ciągłość, zwartość, spójność). Informacja o różnych geometriach.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
rozwiązywania równań liniowych i ich interpretowania w terminach wektorów i odwzorowań liniowych; obliczania wyznaczników; znajdowania macierzy przekształceń liniowych w różnych bazach; obliczania wartości własnych i sprowadzania przekształceń/macierzy do postaci kanonicznej; dostrzegania struktury grupowej (pierścienia, ciała) w znanych obiektach algebraicznych (permutacje, izometrie, podzbiory liczb rzeczywistych i zespolonych); wyrażania faktów z elementarnej teorii liczb w terminach grup i pierścieni; opisywania tworów algebraicznych stopnia co najwyżej drugiego w różnych współrzędnych afinicznych; rozumienia relacji między algebraicznym i geometrycznym opisem przekształceń oraz zbiorów algebraicznych stopnia co najwyżej drugiego; badania kształtu krzywej gładkiej; rozumienia relacji klasyfikacji afinicznej, metrycznej i topologicznej; rozpoznawania podstawowych własności topologicznych podzbiorów w przestrzeni euklidesowej.
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka – 90 h
Przestrzeń probabilistyczna. Elementy kombinatoryki. Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. Niezależność zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Centralne twierdzenia graniczne. Elementy statystyki opisowej. Przykłady wnioskowania statystycznego – estymacja parametrów, testowanie hipotez statystycznych i przedziały ufności.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych, wartości oczekiwanej, wariancji i odchylenia standardowego; analizowania podstawowych schematów doświadczalnych, w tym schematu Bernoulliego; badania niezależności zmiennych losowych; przeprowadzania prostego wnioskowania statystycznego.
Informatyka i matematyka obliczeniowa – 90 h
Elementy algorytmiki – problem i jego specyfikacja, algorytmy klasyczne, analiza algorytmów (poprawność i złożoność). Elementarne struktury danych. Elementy programowania w języku algorytmicznym wysokiego poziomu, środowisko programistyczne. Arytmetyka zmiennopozycyjna. Własności numeryczne algorytmów – poprawność i stabilność. Pakiety matematyczne.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
rozpoznawania i specyfikowania algorytmicznych problemów matematycznych; układania i analizowania algorytmów zgodnych ze specyfikacją; zapisywania algorytmów w języku programowania; kompilowania, uruchamiania i testowania programów; sprawnego wykorzystywania narzędzi komputerowych do wspomagania pracy matematyka; oceny ograniczeń narzędzi komputerowych; posługiwania się co najmniej jednym pakietem matematycznym.
Analiza rzeczywista i zespolona – 60 h
Teoria miary i całki. Funkcje mierzalne i ich zbieżność. Całka Lebesgue’a. Miara i całka w produkcie kartezjańskim. Funkcje holomorficzne, twierdzenie całkowe Cauchy'ego i jego konsekwencje. Szeregi potęgowe i szeregi Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych. Funkcje meromorficzne.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
przedstawiania konstrukcji miary i całki Lebesgue’a oraz ich własności; stosowania miary i całki w zagadnieniach teoretycznych i praktycznych, w szczególności w probabilistyce; prezentacji i interpretacji różnic i podobieństw między różniczkowalnością rzeczywistą i zespoloną; stosowania metod analizy zespolonej, w szczególności rozwijalności funkcji w szereg; wykorzystywania residuów do obliczania całek.
Analiza funkcjonalna – 30 h
Przestrzenie Banacha. Operatory i funkcjonały liniowe. Przestrzenie ciągów i przestrzenie funkcyjne. Klasyczne twierdzenia o funkcjonałach i operatorach w przestrzeniach Banacha. Przestrzenie Hilberta, bazy ortonormalne. Szeregi Fouriera, zagadnienie najlepszej aproksymacji, twierdzenie spektralne (bez dowodu). Zastosowania aparatu analizy funkcjonalnej.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
rozumienia i posługiwania się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach; doboru przestrzeni i operatorów odpowiednich dla rozpatrywanych zagadnień.
Topologia – 30 h
Przestrzenie topologiczne i przekształcenia ciągłe. Operacje na przestrzeniach topologicznych. Zwartość, spójność. Topologie w przestrzeniach odwzorowań. Homotopia przekształceń, homotopijna równoważność, grupa podstawowa. Klasyfikacja topologiczna rozmaitości wymiaru 1 i 2 (bez dowodu).
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
rozpoznawania struktur topologicznych i ich podstawowych własności w obiektach matematycznych występujących w geometrii i analizie matematycznej – w szczególności w rozmaitościach gładkich i przestrzeniach odwzorowań.
Algebra i teoria liczb
Teoria grup, pierścieni i ciał – dyskusja wybranych klas grup, pierścieni i ciał ważnych dla zastosowań. Teoria Galois. Przegląd najważniejszych metod algebraicznych, geometrycznych, analitycznych i probabilistycznych w relacji do klasycznych problemów teorii liczb – rozmieszczenie liczb pierwszych (funkcje dzeta i funkcje L), równania diofantyczne i kongruencje (metoda sum trygonometrycznych, równania nad ciałami skończonymi), liczby algebraiczne i p-adyczne.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
świadomego stosowania metod algebraicznych; stosowania metod algebry, analizy i geometrii w rozwiązywaniu problemów arytmetycznych.
Logika i podstawy matematyki
Syntaktyka i semantyka rachunku zdań, system aksjomatyczny rachunku zdań i jego pełność. Syntaktyka i semantyka rachunku predykatów, system aksjomatyczny rachunku predykatów, pojęcie teorii formalnej, dowodu, konsekwencji, spełniania i modelu, pełność systemu rachunku predykatów. Funkcje i relacje rekurencyjne. Własności metalogiczne teorii formalnych – niesprzeczność, zupełność, informacje o rozstrzygalności i nierozstrzygalności.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
zapisywania zdań języka potocznego i języka matematyki w języku rachunku zdań i języku rachunku predykatów; sprawdzania poprawności wnioskowań w budowaniu dowodów formalnych; postrzegania struktury teorii formalnych i rozumienia znaczenia ich własności metamatematycznych; rozróżniania aspektu syntaktycznego i semantycznego; dostrzegania istnienia teorii i problemów rozstrzygalnych i nierozstrzygalnych; definiowania funkcji i relacji rekurencyjnych; stosowania tezy Churcha.
Analiza matematyczna
Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Przestrzeń styczna. Formy różniczkowe, całkowanie form różniczkowych. Twierdzenie Stokesa. Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i dostateczne na potencjalność pola.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
posługiwania się formami różniczkowymi; obliczania całek krzywoliniowych i powierzchniowych, znajdowania potencjału pola wektorowego oraz stosowania ich w wybranych zagadnieniach z teorii pola występujących w fizyce i technice.
Równania różniczkowe
Równania różniczkowe zwyczajne – istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań. Analityczne i numeryczne rozwiązywanie wybranych typów równań, w tym układów równań liniowych i równań wyższych rzędów. Punkty stacjonarne i ich stabilność. Równania różniczkowe cząstkowe – klasyczne równania fizyki oraz wybrane metody rozwiązywania zagadnień początkowych i brzegowych z nimi związanych.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
analizowania przebiegu oraz znajdowania dokładnych i przybliżonych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych i ich układów; orientowania się w metodach rozwiązywania klasycznych równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego; opisywania prostych procesów fizycznych za pomocą równań różniczkowych; rozwiązywania zagadnień praktycznych w innych dziedzinach – fizyce, chemii, technice, ekonomii; korzystania z komputera w trakcie analizy i rozwiązywania równań różniczkowych.
Geometria i topologia
Elementy geometrii różniczkowej – rozmaitości Riemanna, koneksje, rozmaitości o stałej krzywiźnie. Elementy topologii algebraicznej – teoria homologii i kohomologii singularnych, homologiczne własności rozmaitości, różniczkowe interpretacje niezmienników topologicznych (stopnia przekształcenia).
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
rozpoznawania struktur geometrycznych w teoriach fizycznych; dokonywania zmian układów współrzędnych; obliczania homologii i innych niezmienników algebraicznych nieskomplikowanych przestrzeni i przekształceń.
Metody stochastyczne i statystyka matematyczna
Wielowymiarowe zmienne losowe i ich przykłady (wielowymiarowy rozkład normalny). Rozkłady funkcji jedno- i wielowymiarowych zmiennych losowych. Funkcja charakterystyczna i inne transformaty. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych i ich rozkładów. Twierdzenia graniczne rachunku prawdopodobieństwa. Matematyczna teoria estymacji i teoria testowania hipotez, z uwzględnieniem metod nieparametrycznych. Elementy teorii łańcuchów Markowa. Przykłady procesów stochastycznych – proces Poissona, proces Wienera.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
swobodnego operowania rozkładami jedno- i wielowymiarowymi; stosowania twierdzeń granicznych rachunku prawdopodobieństwa, w szczególności w statystyce; modelowania stochastycznego w matematyce finansowej i aktuarialnej, naukach przyrodniczych, fizyce, chemii; przeprowadzania ekspertyz statystycznych.
Matematyka dyskretna i matematyczne podstawy informatyki
Elementy teorii grafów – spójność, skojarzenia, cykle Hamiltona, kolorowanie wierzchołków i krawędzi grafu, planarność. Zagadnienia ekstremalne teorii grafów – twierdzenia Turana i Ramseya. Elementy kombinatoryki – metody, przeliczania obiektów kombinatorycznych, twierdzenie Polya, ekstremalna teoria zbiorów, zbiory częściowo uporządkowane, metoda probabilistyczna Erdõsa. Elementy teorii obliczeń – funkcje obliczalne, automaty i maszyny Turinga, języki formalne, złożoność obliczeniowa, logika obliczeniowa.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
modelowania problemów praktycznych w języku teorii grafów; rozróżniania i przeliczania obiektów kombinatorycznych; rozumienia matematycznych podstaw analizy algorytmów i procesów obliczeniowych; definiowania funkcji obliczalnych za pomocą rekursji i operatora minimum; definiowania składni języków programowania i języka naturalnego za pomocą minimalizacji automatów i wyznaczania wyrażeń regularnych; odróżniania problemów rozstrzygalnych od nierozstrzygalnych; wyznaczania górnego i dolnego ograniczenia złożoności problemu; posługiwania się logikami reprezentacji wiedzy w językach zapytań i odpowiedzi dla bazy danych; stosowania metod automatycznego dowodzenia twierdzeń oraz logicznego wspomagania weryfikacji i specyfikacji programów.
Metody numeryczne
Metody przybliżonego rozwiązywania: układów równań liniowych i nieliniowych, macierzowego zagadnienia własnego i zadania optymalizacyjnego. Uwarunkowanie wybranych zadań numerycznych. Wybrane metody aproksymacji w przestrzeniach funkcyjnych. Elementy złożoności obliczeniowej. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych. Całkowanie numeryczne. Współczesne narzędzia komputerowe i ich wykorzystywanie w praktycznych obliczeniach naukowych.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
badania własności numerycznych zadań matematycznych (teoretycznych i z zastosowań); badania własności algorytmów numerycznych i ich stosowania do rozwiązywania tych zadań; konstruowania nowych algorytmów, o dobrych własnościach numerycznych, do rozwiązywania niestandardowych problemów; praktycznego wykorzystywania wyrafinowanych algorytmów numerycznych i pakietów w matematyce i obliczeniach naukowych.
Zastosowanie matematyki
Dane eksperymentalne w modelowaniu matematycznym. Modelowanie przy pomocy równań różnicowych i różniczkowych. Metody optymalizacyjne w modelowaniu. Podstawy modelowania probabilistycznego i symulacji komputerowych. Modelowanie matematyczne w przyrodzie i technice.
Efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje:
opisywania sytuacji z realnego świata w języku matematyki; przenoszenia matematycznych doświadczeń do niematematycznych kontekstów; stosowania wiedzy matematycznej przy tworzeniu i wykorzystywaniu modeli matematycznych; wykorzystywania komputerów w procesie modelowania; prowadzenia pracy zespołowej w trakcie modelowania; przekazywania wyników modelowania w formie pisemnej i ustnej niematematykom.
